Dziś zamieszczam sprawdzenie tożsamości trygonometrycznej. W wykazaniu równości między prawą i lewą stroną trzeba "tylko" pamiętać o uważnym przepisywaniu kolejnych obliczeń. I jeszcze o tym, że każde działanie da się zapisać inaczej... Nade wszystko jednak o tym, by nie szarżować z obliczeniami w pamięci.
aby udowodnić, że zachodzi równość, uprościmy prawą stronę:
Dwójka jest iloczynem liczby 2 oraz pierwiastków, które wymnożone dają pierwiastek z 1.
Pora sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. W zapisie algebraicznym, podobnie jak w działaniach na ułamkach zwykłych, oznacza to rozszerzenie ułamka, a więc wymnożenie licznika i mianownika przez tę samą wartość. Spójrzmy uważnie:
Ale to rozbudowane! Na szczęście zapis można szybko uprościć:
Jedynka trygonometryczna (o której wkrótce napiszę osobny artykuł) pozwala nam jeszcze uprościć mianownik - to nic innego jak sinα podniesione do kwadratu. Mianownik zaś, po wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia, przyjmie postać:
Aby doprowadzić prawą stronę naszego równania do prostej formy zapisanej po lewej stronie, musimy... jeszcze ją skomplikować. Jednak tylko pozornie, kolejne składniki szybko się zredukują jako wyrazy podobne. Czy wszyscy pamiętają o jedynce trygonometrycznej? Wstawimy ją w liczniku:
Ponieważ iloraz kwadratów jest kwadratem ilorazu, zatem możemy śmiało zakończyć:
C.N.D.
i to już wszystko!
