Omawiana dziedzina matematyki tłumaczy zależności między miarami kątów w trójkątach i długościami boków. Wyjaśnia też wiele innych prawidłowości w matematyce i naukach przyrodniczych. Służy inżynierom budowlanym i konstruktorom maszyn, programistom, nawigatorom na statkach i architektom. Stosowana jest w tak wielu dziedzinach naszego życia, że trudno je wszystkie wymienić - jednak postaram się przybliżyć chociaż kilka. Trygonometria otacza nas zewsząd, dlatego warto poświęcić chwilę na zrozumienie jej podstaw.
Na dobry początek, narysujmy trójkąt prostokątny. Na przykład taki:
Ten na szybko wykreślony trójkąt prostokątny (zupełnie przypadkowy) ma trzy boki o różnej długości. Dla porządku przypomnę, że boki należące do ramion kąta prostego (ramiona kąta są półprostymi, boki są odcinkami) to przyprostokątne, zaś bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna.
Pora oznaczyć boki i kąty ostre w trójkącie. Zgodnie z przyjętymi zwyczajami, przeciwprostokątną oznaczymy jako c, a przyprostokątne jako a oraz b. Greckimi literami α (alfa) oraz β (beta) oznaczymy zaś kąty ostre naprzeciw boków a i b.
Każdy, kto obliczał już pola i obwody trójkątów, z łatwością zapisze stosunki długości poszczególnych boków - na przykład przyprostokątnej o długości a do przeciwprostokątnej:
wartość tego ilorazu moglibyśmy (znając twierdzenie Pitagorasa) zapisać bez używania wyrażenia algebraicznego ("literki") a. Oto równoważny zapis:
Zauważmy, że iloraz długości przyprostokątnej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej nie zmieni się, jeśli utworzymy trójkąt podobny o np. dwa razy większej długości wszystkich boków. Długości pojedynczych boków będą różne, lecz odpowiednie kąty będą mieć równe miary.
Nadszedł czas, by poznać pierwszą funkcję trygonometryczną. Argumentami sinusa (zapisywanego krócej "sin") są kąty o dowolnej mierze. Dziś zajmiemy się kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, a zatem z przedziału od zera do 90 stopni. Sinus przyjmuje wartość będącą ilorazem długości boków trójkąta. Których boków? Spójrzmy na rysunek:
sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to iloraz długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta przez długość przeciwprostokątnej.
Ta prosta zależność to fundament trygonometrii. Jest to jeden z zaledwie kilku wzorów, które warto zapamiętać. Wiele pomocniczych można z łatwością wyprowadzić.
Sinus kąta ostrego - od zera do dziewięćdziesięciu stopni - przyjmuje wartości od 0 (kiedy przyprostokątna naprzeciw kąta zerowego nie istnieje) do 1 (gdy ma ona długość równą przeciwprostokątnej) i są to zazwyczaj wartości "nieokrągłe" - niewymierne lub mające bardzo długie rozwinięcie dziesiętne. Wyjątkiem jest kąt 30 stopni - sinus 30 stopni wynosi dokładnie 0,5. Za wyjątkiem kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni, matematycy najchętniej obliczają sinus posiłkując się tabelami:
Aby nie rzucać słów na wiatr, wytłumaczę teraz, jak wykorzystać umiejętność obliczania sinusa kąta ostrego do bezbolesnego znikania pod wodą. Proces ten jest nie tylko bezbolesny, ale i w pełni odwracalny, można go też powtarzać dowolną ilość razy.
Zastanówcie się, ile razy widzieliście napełniony wodą basen o spokojnym lustrze wody. Odchodząc coraz dalej od krawędzi widzieliście zapewne, iż basen jest (czy naprawdę?) zaskakująco płytki. Po co komu pływalnia z wodą sięgającą zaledwie do kolan?
Każdy może się domyślić, że ten basen jest wystarczająco głęboki, by można było w nim pływać, nie zawadzając stopami o dno. Właśnie uświadomiłem sobie, że aby wyjaśnić Wam, jak być niewidzialnym pod wodą, muszę umieścić odrobinę wiadomości fizycznych. Obiecuję - tylko odrobinę ;).
Widzenie to nic innego jak odbieranie światła, które świeci, bądź odbija się od przedmiotów. Pozorna płycizna basenu to w rzeczywistości oglądanie zniekształconego obrazu jego dna. Dlaczego zjawisko nie występuje w pustym basenie? Oczywiście, tajemnica tkwi we właściwościach wody. To ona załamuje światło:
Jak na razie widać stąd tylko, że przedmioty leżące na dnie basenu, oglądane "pod kątem" (nie na wprost z góry!) wydają się znajdować gdzie indziej. Wystarczy jednak skorzystać z odrobiny wiedzy geometrycznej, by zrozumieć dokładnie istotę tych zniekształceń:
Jeżeli światło będzie padać pod kątem prostym do powierzchni wody (lub innej przejrzystej substancji - szkła, plastiku, oleju, itd.), nie zostanie załamane. Jednak wraz ze wzrostem kąta α liczonego od prostej prostopadłej do powierzchni, wzrastać będzie również miara kąta β - jak na rysunku. Zmiana będzie zgodna z proporcją:
Tajemnica niewidzialności pod wodą jest już blisko. Obliczmy, pod jakim kątem do "pionu" (prostej prostopadłej do powierzchni wody) będzie w powietrzu przebiegał promień, który w wodzie biegnie pod kątem 45 stopni. Sinus 45 stopni wynosi około 0,7 (dokładnie jest to pierwiastek kwadratowy z dwóch dzielony na dwa), współczynnik n wynosi 1,33. Zatem kąt α musi mieć taką miarę, aby jego sinα wynosił 0,7*1,33=0,931. Rzut oka do tabeli pozwala stwierdzić, że jest to kąt około 70 stopni. Gdy zwiększymy kąt padania światła na granicę woda-powietrze od strony wody, okaże się, że nie istnieje kąt α o takiej mierze, by równanie 
zostało spełnione. Oto rysunek przedstawiający superbohatera, który nurkuje w jeziorze o niezwykle przejrzystej wodzie. Dla swojego wroga jest zupełnie niewidoczny:
Ponieważ światło odbijające się od superbohatera pada na spodnią stronę lustra wody pod bardzo dużym kątem do prostej prostopadłej, jego obraz odbija się całkowicie i nie jest widoczny dla czarnego charakteru stojącego na brzegu. Zamiast superbohatera widzi on odbicie nieba. W ten sposób obydwaj są dla siebie niewidoczni, mimo iż znakomicie widzą kamienie leżące na dnie jeziora. Jak pokazuje poniższy rysunek, superbohater widoczny jest dla obserwatora spoglądającego na taflę jeziora pod mniejszym kątem niż jego przeciwnik, naprzykład z lecącego wysoko nad taflą jeziora balonu...
Pora na obrazki ładniejsze niż moje rysunki - proponuję uważne przyjrzenie się poniższym zdjęciom. Widać na nich wyraźnie, że obserwując jezioro pod kątem większym niż kąt graniczny możemy zobaczyć wyłącznie odbicie nieba:
Pomijając już podane w tytule artykułu zastosowanie znajomości załamania światła na granicy dwóch ośrodków (wody, powietrza, szkła, tworzyw - zainteresowanych detalami odsyłam do podręczników optyki), jest ono kluczowe dla konstruktorów wszelkich obiektywów fotograficznych, kamer filmowych czy nawet zwyczajnych okularów. To dzięki znajomości sinusa można konstruować coraz doskonalszą optykę dla kina i telewizji - w której wzrasta popularność standardu "High Definition" a więc wymagającego kamer najwyższej jakości.
Sinus kąta ostrego to tylko prosty iloraz dwóch boków trójkąta prostokątnego. Zrozumienie go pozwala nie tylko swobodnie zdać z klasy do klasy, lecz także poznawać skomplikowane konstrukcje które towarzyszą nam na codzień. W następnym artykule napiszę o kolejnej funkcji trygonometrycznej, cosinusie (wym. kosinusie). Szczęśliwego roku 2012!
P.S. Ponieważ zjawisko załamania światła na granicy powietrza i wody zasługuje na szczegółowe omówienie, wszystkich, których zainteresowało to zagadnienie zachęcam do lektury pięknie ilustrowanego artykułu R. Olecha o fotografii podwodnej.
Ta prosta zależność to fundament trygonometrii. Jest to jeden z zaledwie kilku wzorów, które warto zapamiętać. Wiele pomocniczych można z łatwością wyprowadzić.
Sinus kąta ostrego - od zera do dziewięćdziesięciu stopni - przyjmuje wartości od 0 (kiedy przyprostokątna naprzeciw kąta zerowego nie istnieje) do 1 (gdy ma ona długość równą przeciwprostokątnej) i są to zazwyczaj wartości "nieokrągłe" - niewymierne lub mające bardzo długie rozwinięcie dziesiętne. Wyjątkiem jest kąt 30 stopni - sinus 30 stopni wynosi dokładnie 0,5. Za wyjątkiem kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni, matematycy najchętniej obliczają sinus posiłkując się tabelami:
Aby nie rzucać słów na wiatr, wytłumaczę teraz, jak wykorzystać umiejętność obliczania sinusa kąta ostrego do bezbolesnego znikania pod wodą. Proces ten jest nie tylko bezbolesny, ale i w pełni odwracalny, można go też powtarzać dowolną ilość razy.
Zastanówcie się, ile razy widzieliście napełniony wodą basen o spokojnym lustrze wody. Odchodząc coraz dalej od krawędzi widzieliście zapewne, iż basen jest (czy naprawdę?) zaskakująco płytki. Po co komu pływalnia z wodą sięgającą zaledwie do kolan?
 |
| foto: Kriss Keprios, http://www.catchcentralflorida.com/ |
Widzenie to nic innego jak odbieranie światła, które świeci, bądź odbija się od przedmiotów. Pozorna płycizna basenu to w rzeczywistości oglądanie zniekształconego obrazu jego dna. Dlaczego zjawisko nie występuje w pustym basenie? Oczywiście, tajemnica tkwi we właściwościach wody. To ona załamuje światło:
gdzie n oznacza współczynnik załamania na granicy ośrodków. Na przykład na granicy powietrza i wody wynosi on 1,33. Na granicy powietrza i różnych gatunków szkła - od 1,5 do 1,66 zaś między powietrzem i diamentem aż 2,42! To chyba wystarczy, by domyślić się, jak za pomocą wskaźnika laserowego i kątomierza odróżnić cenny diament od zwykłego szkła...
zostało spełnione. Oto rysunek przedstawiający superbohatera, który nurkuje w jeziorze o niezwykle przejrzystej wodzie. Dla swojego wroga jest zupełnie niewidoczny:Ponieważ światło odbijające się od superbohatera pada na spodnią stronę lustra wody pod bardzo dużym kątem do prostej prostopadłej, jego obraz odbija się całkowicie i nie jest widoczny dla czarnego charakteru stojącego na brzegu. Zamiast superbohatera widzi on odbicie nieba. W ten sposób obydwaj są dla siebie niewidoczni, mimo iż znakomicie widzą kamienie leżące na dnie jeziora. Jak pokazuje poniższy rysunek, superbohater widoczny jest dla obserwatora spoglądającego na taflę jeziora pod mniejszym kątem niż jego przeciwnik, naprzykład z lecącego wysoko nad taflą jeziora balonu...
Pora na obrazki ładniejsze niż moje rysunki - proponuję uważne przyjrzenie się poniższym zdjęciom. Widać na nich wyraźnie, że obserwując jezioro pod kątem większym niż kąt graniczny możemy zobaczyć wyłącznie odbicie nieba:
 |
| Omszałe kamienie na dnie jeziora Tahoe Zdjęcie: Soups Ranjan |
 |
| Jezioro West Thumb z aktywnym gejzerem na dnie Zdjęcie: Travis S. |
Pomijając już podane w tytule artykułu zastosowanie znajomości załamania światła na granicy dwóch ośrodków (wody, powietrza, szkła, tworzyw - zainteresowanych detalami odsyłam do podręczników optyki), jest ono kluczowe dla konstruktorów wszelkich obiektywów fotograficznych, kamer filmowych czy nawet zwyczajnych okularów. To dzięki znajomości sinusa można konstruować coraz doskonalszą optykę dla kina i telewizji - w której wzrasta popularność standardu "High Definition" a więc wymagającego kamer najwyższej jakości.
 |
| Porównanie zwykłego obiektywu (uproszczenie, w rzeczywistości obiektywy składają się z kilkunastu soczewek) i obiektywu zawierającego soczewki o nietypowym kształcie - w drugim przypadku obraz z kamery wolny jest od niepożądanych przebarwień. Źródło: www.zeiss.com |
P.S. Ponieważ zjawisko załamania światła na granicy powietrza i wody zasługuje na szczegółowe omówienie, wszystkich, których zainteresowało to zagadnienie zachęcam do lektury pięknie ilustrowanego artykułu R. Olecha o fotografii podwodnej.
