Na początek przypomnijmy, że obliczanie logarytmu, jest działaniem odwrotnym do potęgowania, lecz w inny sposób niż pierwiastkowanie. Logarytm składa się z podstawy (a) i liczby logarytmowanej (b). Wartość logarytmu (c) oznacza liczbę, do której trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną.
Można zauważyć, że da się wykonać proste "przetasowanie" - podstawa logarytmu znajduje się "na dole" i po zamianie logarytmu na potęgę - stanie się podstawą potęgi. Na miejsce wartości potęgi trafi liczba logarytmowana, zaś wykładnikiem (stopniem) potęgi będzie wartość logarytmu. Być może to dla Ciebie nieco zawiłe - poniższa animacja powinna więc nieco przybliżyć takie przekształcenie:
Jak wykorzystać logarytmy do zarządzania swoimi pieniędzmi? Ostatnio pisałem o określaniu za pomocą potęgowania, ile "zarobią" pieniądze na lokacie bankowej. Jeśli znajdziemy konto nie z roczną, lecz dzienną kapitalizacją odsetek - będziemy mogli wyznaczyć, po jakim czasie uzyskamy dokładnie zadaną kwotę odsetek. I to bez konieczności obliczania setnych lub tysięcznych potęg dziennego oprocentowania. Trzeba jednak wprowadzić tu pojęcie kapitalizacji ciągłej czyli stanu, w którym odsetki naliczane są nie co roku, codziennie ani nawet co minutę - lecz nieustannie. Nie oznacza to wcale wysokiego oprocentowania, lecz stanu w którym możemy obliczyć odsetki przy dowolnie krótkim czasie ulokowania pieniędzy na koncie. Idealna kapitalizacja ciągła oczywiście nie istnieje, choćby ze względu na to, że najmniejszą jednostką pieniężną jest 1 grosz (cent, eurocent, itd.). Jednak za pomocą wzoru na wartość oprocentowania w kapitalizacji ciągłej można całkiem nieźle obliczyć czas, potrzebny do uzyskania określonej kwoty na koncie.
O liczbie e można napisać dużo. Dziś skupmy się na tym, że jest liczbą niewymierną równą w przybliżeniu 2,718 i podstawą logarytmu naturalnego oznaczanego krótko ln. Wiadomo również, że wartość zgromadzonych środków po x latach na koncie należy pomnożyć przez liczbę e xn gdzie n oznacza roczne oprocentowanie przeliczone na ułamek.
Przykładowo: konto o oprocentowaniu rocznym 3% z ciągłą kapitalizacją odsetek, po 9 miesiącach (0,75 roku) będzie mieć stan równy e 0,03*0,75= 1,02755... początkowego wkładu. Oprocentowanie będzie równe około 2,76%. Konto o oprocentowaniu rocznym 5,2% z ciągłą kapitalizacją odsetek, po 3,5 roku będzie mieć stan równy e 0,052*3,5= 1,19961... początkowego wkładu, zatem oprocentowanie będzie równe niemal 20%.
Wyobraźmy sobie, że chcemy podwoić stan konta przy rocznym oprocentowaniu n% (przeliczając procenty na ułamek n*0,01). Jak wyznaczyć liczbę lat, w ciągu których należy utrzymać lokatę? Oznaczając czas w latach przez x, otrzymamy równanie: e0,01*n*x= 2. Aby nie rozwiązywać go na "chybił trafił", skorzystamy z logarytmu naturalnego: ln 2 = 0,01*n*x.
Przekształcając równanie, otrzymujemy wzór: (100/n)*ln2 = x.
Poniższa tabelka pokazuje, jak w zależności od rocznego oprocentowania zmienia się czas oczekiwania na upragnione podwojenie stanu konta...
| oprocentowanie roczne: | okres podwojenia stanu konta (lata): |
| 2% | 34,657 |
| 5% | 13,863 |
| 7% | 9,902 |
| 10% | 6,931 |
| 12% | 5,776 |
W kolejnym odcinku, opiszę jak w praktyce stosować ciągi geometryczne - są one bliskie wszystkim, którzy biorą kredyty lub regularnie oszczędzają.
