 |
| Loteria - szansa na miliony czy pewność pozbycia się drobniaków? zdjęcie: The Reboot/flickr (cc: by-nc 2.0) |
Bo jest to zdarzenie bardziej prawdopodobne od wygranej... Aby się o tym przekonać, obliczymy prawdopodobieństwo trafnego wytypowania wszystkich liczb w losowaniu. Zastanowimy się, co zrobić aby zwiększyć szanse wygranej i ile będzie kosztować odpowiednia liczba losów. Dla porównania, przytoczę dane NASA o prawdopodobieństwie kolizji Ziemi z planetoidą. A na koniec przyjrzymy się kilku powszechnym mitom o "systemowym" działaniu mającym zapewnić wygraną po wielu, wielu losowaniach.
Obliczanie prawdopodobieństwa często ogranicza się do oceniania, ile w czasie pojedynczego doświadczenia losowego może wystąpić zdarzeń pomyślnych a ile zdarzeń jest możliwych. I na przykład - jeśli obliczamy prawdopodobieństwo wyrzucenia jednego oczka w rzucie sześcienną, symetryczną ("uczciwą") kością, szybko stwierdzamy, że jedno zdarzenie oznaczające sukces wobec sześciu zdarzeń możliwych (włącznie z tym, na które "stawiamy") oznacza prawdopodobieństwo $$ \frac {1}{6} $$ Aby określić prawdopodobieństwo trafienia "szóstki" identycznej, jak wylosowana z 49 liczb, wystarczy tylko określić liczbę możliwych zdarzeń. A ta będzie ogromna. Określamy ją za pomocą wzoru na liczbę kombinacji bez powtórzeń, czyli liczby wszystkich możliwych zbiorów o zadanej liczbie elementów, utworzonych z elementów większego zbioru - spośród których każdy może być użyty tylko raz. Kombinacja k-elementowa bez powtórzeń zbioru n-elementowego, wyraża się wzorem:
$$ C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k} $$
Zatem liczba możliwych zdarzeń dla "dużego lotka" jest kombinacją bez powtórzeń 6-elementową zbioru 49-elementowego. Wszystkim, którzy nie są pewni znaczenia wyrażenia n! przypominam, że oznacza ono silnię, czyli iloczyn kolejnych liczb naturalnych od zera do n. I tak na przykład:
$$ 10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800 $$
Na szczęście dzielenie silni oznacza skracanie, dzięki czemu na przykład dzieląc 10! przez 6! wystarczy obliczyć prostszy iloczyn:
$$ \frac{10!}{6!} = \frac{1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10}{1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6}= 7*8*9*10 $$
Podobnie skracają się iloczyny przy obliczaniu "totolotkowej" kombinacji:
$$ C_{49}^6= \binom{49}{6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!*43!} = \frac{44*45*46*47*48*49}{6!} $$
co jednak wciąż oznacza pokaźny iloraz:
$$ \frac{10068347520}{720} = 13983816 $$
A zatem szansa trafienia w jednym typowaniu wynosi jeden do niemal czternastu milionów! To niewiele. Czy jest jakiś sposób, aby zwiększyć swoje szanse wygranej? Ależ oczywiście, wystarczy zwiększyć liczbę zawartych zakładów. Jeden zakład kosztuje 3 złote. A zatem za "obstawienie" wszystkich możliwych zdarzeń trzeba zapłacić 41 milionów, 951 tysięcy 448 złotych. Co prawda to mniej, niż wynosiła kwota najwyższej kumulacji (ponad 56,1 mln zł we wrześniu 2011 roku), jednak tą ogromną kwotą musiało się podzielić dwóch hazardzistów. Najwyższą wygraną wypłaconą jednej osobie było 33 787 496,10 zł wypłacone szczęśliwcowi z Gdyni w lutym 2012 roku. To za mało, by pokryć koszt wszystkich możliwych zakładów. Do obiegowych opinii na temat zakładów wrócę za chwilę.
Czas porównać prawdopodobieństwo wygranej w "zwyczajnych" zakładach (dla zwiększenia szansy dziesięciokrotnie, do około 1 : 1 400 000, wyobraźmy sobie dziesięć zakładów za 30 złotych, co jest kwotą do zaakceptowania dla wielu graczy) do zdarzeń z pozoru całkowicie nieprawdopodobnych.
Jak podaje amerykańska agencja kosmiczna NASA, w ciągu ostatnich 60 dni obserwowano planetoidę o średnicy ponad 400 metrów, która z prawdopodobieństwem 1:14000 uderzy w Ziemię przed 2050 rokiem. Rzut oka na listę znanych planetoid, ale nie obserwowanych w ostatnim czasie może zaniepokoić osoby wierzące w swoją szansę w grach liczbowych. Jeśli bowiem prawdopodobieństwo poniżej jednej milionowej wydaje się duże - cóż powiedzieć o ryzyku rzędu 0,00057? Takie jest prawdopodobieństwo (zapisane w postaci stosunku - 1 : 1 750, a więc 800 razy większe od prawdopodobieństwa wygranej jednego z dziesięciu zakładów), że w naszą planetę uderzy 130-metrowa planetoida 2007 VK184. Zdarzenie to może nastąpić w latach 2048-2057. Czy do niego dojdzie? Pozostaje wciąż 99.943% szans, że nie...
Zagrożenie upadku na Ziemię planetoidy mogącej zrównać z Ziemią spore miasto (albo wywołać kataklizm na pustyni - nie wpadajmy więc w panikę) określić mogą eksperci, my zaś pomyślmy o tym, czy doświadczeni gracze mają jakąkolwiek przewagę nad wypełniającymi kupony rzadko.
Wielu miłośników gier liczbowych wierzy, że "obstawiając" wciąż te same liczby, radykalnie zwiększa prawdopodobieństwo wygranej. To jednak nieprawda. Prawdopodobieństwo uzyskania "ich" kombinacji w każdym kolejnym losowaniu wciąż równa się ilorazowi jedynki i liczby 6-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru 49-elementowego. W następnym losowaniu będzie tyle samo liczb, oznaczanych przez niewielkie kuleczki. Szansa na uzyskanie upragnionej "szóstki" z jednego zakładu w stu kolejnych losowniach razy jest sto razy większa niż w jednym i wynosi znikome 1 do 139 tysięcy. Większy jest za to koszt - stukrotnie. Prawdopodobieństwo wylosowania ulubionej kombinacji gracza w każdym z losowań się nie zmienia, jest równe szansie wygranej w zakładzie "na chybił trafił".
No dobrze - może powiedzieć gracz. Ale jednak pewne kombinacje się nie zdarzają. Nie warto "obstawiać" sześciu kolejnych liczb, bo zawsze wypadają jakieś spoza "rzędu". Najbliżej "ideału" było losowanie z 7 kwietnia 2011 roku, gdy maszyna wybrała 5 kolejnych liczb: 15, 16, 17, 18 i 19 oraz "niepasujące" 42. Zastanówmy się jednak, jakie ile istnieje kombinacji sześciu kolejnych liczb. Jest ich oczywiście 44 - od: 1,2,3,4,5,6 do: 44, 45, 46, 47, 48, 49. Zatem prawdopodobieństwo, że w pojedynczym losowaniu trafi się taka egzotyczna szóstka wynosi:
$$ \frac{44}{13983816} = \frac{1}{317814} $$
Nic dziwnego, że większość graczy odrzuca możliwość takiego wyniku - prawdopodobieństwo jest znikome, chociaż istnieje.
Sposobem na niemal pewny zysk jest odłożenie pieniędzy wydawanych na loterie w banku. Niemal, bo istnieje z kolei znikome ryzyko, że bank stanie się niewypłacalny. O możliwości zaoszczędzenia znacznych sum przez ich zdeponowanie na lokacie na długie lata już pisałem w artykule o potęgach i pierwiastkach a o urokach oszczędzania poprzez regularne dopłacanie (i tym, jak się stosuje w praktyce wiedzę o ciągach) napiszę już niebawem. Ale będę również wracał do tematyki gier, rachunku prawdopodobieństwa i zakładów. Mam nadzieję, że po dzisiejszej lekturze, nie będziesz pochopnie wydawać pieniędzy na gry liczbowe. I. pomimo większego niż wygrane w totolotku ryzyka zderzenia z planetoidą - powstrzymasz się od budowania schronu...
