Wokół totolotka, czyli permutacje, wariacje, kombinacje...

Licznik analogowy może wyświetlić milion różnych liczb za pomocą 6 cyfr i 10 tysięcy liczb za pomocą 4 cyfr.
Zdjęcie: rjg3229/flickr (cc: by-nc-sa 2.0)

Pisząc ostatni artykuł o prawdopodobieństwie wylosowania wszystkich sześciu wytypowanych liczb spośród zbioru 49 liczb naturalnych pomyślałem o tym, jak trudno odróżnić różne wzory stosowane w kombinatoryce oraz rachunku prawdopodobieństwa. Nie jest łatwo wybrać odpowiedni.


Zazwyczaj do rozwiązywania zadań, wykorzystuje się wzory na liczbę wariacji, kombinacji lub permutacji - z powtórzeniami albo bez.
Zastanawiając się nad liczbą możliwych wyników losowania totolotka, w pierwszej kolejności odrzucimy wzory na liczbę permutacji. Dają nam one odpowiedź na pytanie, na ile sposobów można utworzyć n-elementowy ciąg z n-elementowego zbioru. Używając bardziej zrozumiałego przykładu - ile różnych słów (mających znaczenie lub nie) możemy utworzyć z danej liczby liter. Jeśli wyraz ma n różnych liter, istnieje n! (czytaj: n silnia) różnych wyrazów składających się z tych samych liter.

Weźmy wyraz PRZYSŁOWIE. Składa się on z dziewięciu różnych liter. Możemy je ustawić w różnej kolejności na 9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9 a zatem - 362 880 sposobów. Wyraz MATEMATYKA składa się z dziesięciu liter, ale M oraz T powtarzają się dwukrotnie, zaś A - trzy razy. Korzystamy więc ze wzoru na liczbę permutacji z powtórzeniami. Silnię liczby liter dzielimy przez iloczyn silni wszystkich powtarzających się liter:
$$ \frac{10!}{2!*2!*3!} = \frac{3628800}{24} = 151\,200 $$

Określanie prawdopodobieństwa wygranej w grze liczbowej zazwyczaj opiera się na określaniu ilorazu pożądanych do istniejących kombinacji bez powtórzeń liczb. I tak na przykład wspomniane już prawdopodobieństwo wygranej w totolotka to iloraz 1 (upragniona "szóstka") przez liczbę możliwych 6-elementowych podzbiorów zbioru 49-elementowego. Często obliczający to prawdopodobieństwo mylą się i sięgają po wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń. Określa on liczbę ciągów, jakie można utworzyć za pomocą wylosowanych liczb. Kolejność liczb w ciągu liczbowym ma znaczenie, w przeciwieństwie do zawartości podzbioru.
Tymczasem w "totolotku" maszyna losująca wybiera 6 różnych liczb w dowolnej kolejności, które po losowaniu zazwyczaj są podawane w kolejności rosnącej. Rzeczywista kolejność w jakiej kulki opuszczają komorę mieszania maszyny losującej jest nieistotna. Gdyby była, liczba możliwych wyników byłaby liczbą różnych wariacji 6-elementowych bez powtórzeń zbioru 49 elementowego, równą
$$ \frac{49!}{(49-6)!} = \frac{49!}{43!} = 10\,068\,347\,520 $$
czyli 720 razy więcej niż liczba "totolotkowych" kombinacji. To dlatego, liczba możliwych wyników losowania jest obliczana ze wzoru na kombinacje, a nie wariacje bez powtórzeń. Powtórzenia musimy uwzględnić, gdy po każdym losowaniu "zwracamy" liczbę do puli lub na przykład losujemy ciąg/podzbiór za pomocą pojedynczej kostki. Widoczne na powyższym zdjęciu liczniki samochodowe mogą wyświetlić tyle różnych liczb, ile jest cztero- lub sześcioelementowych wariacji zbioru 10-elementowego (tak jak 10 cyfr). Ich liczba wyraża się odpowiednio poprzez potęgi:
$$ 10^4=10\,000 \ oraz \ 10^6=1\,000\,000 $$

Jak łatwo się domyślić, najpopularniejsza w Polsce gra liczbowa byłaby zbyt skomplikowana, gdyby o wyniku rozstrzygała kolejność wylosowania liczb. Istnieją jednak gry liczbowe, w których do obliczenia prawdopodobieństwa wygranej używa się właśnie wariacji. W następnym artykule przyjrzymy się m.in. grom karcianym i grze w kości.